數(shù)學與信息科學學院王艷青副教授在Navier-Stokes方程和Euler方程的正則性與能量守恒上取得了系列進展

近期，數(shù)學與信息科學學院王艷青副教授及偏微分方程團隊在Navier-Stokes方程和Euler方程的正則性與能量守恒上取得了系列進展，相關結果發(fā)表在國際著名數(shù)學期刊《Journal of Differential Equations》（JCR一區(qū)，IF=2.4）、《Journal of Nonlinear Science》（JCR一區(qū)，IF=2.6）、《Proceedings of the Royal Society of Edinburgh Section A: Mathematics》（JCR一區(qū)，IF=1.009）、《Proceedings of the American Mathematical Society》（JCR二區(qū)，IF=0.8）上。

1. 表面生長模型弱解的能量耗散

表面生長模型來源于分子束外延過程，該方程與三維不可壓縮Navier-Stokes方程具有相似的數(shù)學結構，本文給出了由于表面生長模型弱解缺少正則性而導致的能量耗散項，利用該能量耗散項回答了Yang[J. Differential Equations，283, 2021]關于表面生長模型弱解的能量等式所提出的問題。此外，研究中首次揭示了Duchon和Robert在[Nonlinearity，13 ,2000]中推導的不可壓縮Navier-Stokes方程的能量耗散項與法國科學院院士J. Lions在1960年推導的弱解能量守恒準則之間的關系，給出了Duchon和Robert的能量耗散項的第六種應用。該研究成果以題名“Energy dissipation of weak solutions for a surface growth model”（表面生長模型弱解的能量耗散）發(fā)表在微分方程領域國際著名期刊《Journal of Differential Equations》上，該成果以鄭州輕工業(yè)大學為第一單位，王艷青為第一作者，與魏?。ㄎ鞅贝髮W）、葉嵎林（河南大學）、于幻（北京信息科技大學）共同合作完成。

2. 不可壓縮Euler方程弱解的能量和螺旋度守恒

Euler方程的能量守恒與Onsager猜想密切相關。1994年，Constantin-E-titi解決了Euler方程弱解在次臨界Besov空間下的Onsager猜想；2008年，Cheskidov-Constantin-Friedlander-Shvydkoy在臨界的Besov空間下解決了Euler方程弱解的Onsager猜想。本研究充分利用Euler方程弱解的動能，分別在周期和全空間區(qū)域上，推廣Cheskidov-Constantin-Friedlander-Shvydkoy的經(jīng)典結果，并將其應于無粘極限中的能量守恒問題。該研究成果以題名“On the Energy and Helicity Conservation of the incompressible Euler Equations”（有關不可壓Euler方程的能量和螺旋度守恒）發(fā)表在非線性科學領域著名期刊《Journal of Nonlinear Science》上，該成果以鄭州輕工業(yè)大學為第一單位，王艷青為第一作者，與吳剛（中國科學院大學）、魏?。ㄎ鞅贝髮W）、葉嵎林（河南大學）共同合作完成。

3. 不可壓縮Navier-Stokes方程適當弱解的正則性

三維不可壓縮Navier-Stokes方程的正則性問題是著名的千禧年百萬美元問題之一。本工作利用Caffarelli–Silvestre調和擴張，建立了適當弱解新的小能量正則性準則，回答了Robinson 和 Sadowski 在[Commun. Math. Phys., 505, 2010]中所提出的有關三維Navier-Stokes方程適當弱解的可能奇異點的四個問題。該成果以題名“Fractal dimension of potential singular points set in the Navier–Stokes equations under supercritical regularity”（Navier-Stokes方程在超臨界正則性下的適當弱解可能奇異點集的分形維數(shù)）發(fā)表在著名數(shù)學期刊《Proceedings of the Royal Society of Edinburgh Section A: Mathematics》上，該成果以鄭州輕工業(yè)大學為第一單位，王艷青為第一作者，與吳剛（中國科學院大學）共同合作完成。

4. 電磁流體方程守恒量的H?lder連續(xù)性

電磁流體方程的非線性項為Hall項，不同于經(jīng)典的不可壓縮Euler方程的對流項。本研究給出了電磁流體方程解在時間方向上的H?lder連續(xù)性與空間H?lder連續(xù)性的關系，并證明了當電磁流體方程解在空間上具有Besov正則性時，蘊含著能量和磁螺旋度在時間方向上的H?lder連續(xù)性。該成果以題名“H?lder regularity of solutions and physical quantities for the ideal electron magnetohydrodynamic equations”（無粘電磁流體物理守恒量的H?lder連續(xù)性）發(fā)表在中國數(shù)學會T2期刊《Proceedings of the American Mathemetical Society》上，該成果以鄭州輕工業(yè)大學為第一單位，由數(shù)學與信息科學學院偏微分方程團隊成員王艷青、何國亮以及北京工業(yè)大學劉繼濤教授共同完成。

以上研究得到了國家自然科學基金面上項目和河南省優(yōu)秀青年基金等項目的支持。